逻辑回归

1. 最小经验损失函数

在二分类中，y_hat的含义是预测类别为1的概率为y_hat，相应的为0的概率为(1-y_hat)

最小化cross entropy等价于最大化log softmax probability

$$y = \frac{1}{1+e^{-(w^{T} x + b)}}$$

sigmoid function

$$g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \space\space\space\space 0 < g(z) <1$$

sigmoid函数的导数为: sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))

对数损失函数 / Logistic loss function

Log loss is convex (注意负号)

$$\mathcal{L}(f(x), y) = \begin{cases} -\log(f(x)) & \text{if } y = 1 \\ -\log(1 - f(x)) & \text{if } y = 0 \end{cases}$$

Simplified loss function

$$\mathcal{L}(f(x), y) = - \left[ y \cdot \log(f(x)) + (1 - y) \cdot \log(1 - f(x)) \right]$$

Simplified cost function

$$\begin{align*} J(w, b) &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \mathcal{L}(f(x^{(i)}), y^{(i)}) \\ &= -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left[ y^{(i)} \log(f(x^{(i)})) + \left(1 - y^{(i)}\right) \log\left(1 - f(x^{(i)})\right) \right] \end{align*}$$

Codes

# log loss
log_loss = -np.mean(y_true * np.log(y_pred) + (1 - y_true) * np.log(1 - y_pred))

# cross entropy
cross_entropy = -np.mean(np.sum(y_true * np.log(y_pred), axis=1))

softmax loss

• 多分类损失函数

• PyTorch: log_softmax + NLLLoss = CrossEntropyLoss

KL散度 (Kullback-Leibler Divergence)

• 衡量两个分布的差异

• 交叉熵就是 KL 散度加信息熵，而信息熵是一个常数

$$D_{KL}(p||q)=\sum_{x\in X} p(x)\log\frac{p(x)}{q(x)}=-\sum_{x\in X} p(x)[\log q(x) - \log p(x)]$$

逻辑回归中，损失函数对模型参数的梯度计算结果形式上看起来与线性回归类似：

1. 计算损失函数对y_hat的微分 (损失函数的grad)

2. 计算y_hat对sigmoid函数的微分 (传播到激活函数)

3. 计算sigmoid对权重w的微分 (传播到层)

2. 最大似然法 Maximum likelihood estimation

最大似然与最小交叉熵损失函数等价，可以从最大似然推导出逻辑回归使用的交叉熵损失函数。

• 假设样本服从伯努利分布/二项分布 Bernoulli distribution

$$L(w)=\prod[p(x_{i})]^{y_{i}}[1-p(x_{i})]^{1-y_{i}}$$

$$L(w)=\prod_{i=1}^{m}{p^{y}\cdot(1-p)^{1-y}}$$

3. 最大熵法

最大熵原理：对于概率模型，在所有可能分布的概率模型中，熵最大的模型是最好的模型。熵用来形容一个系统的无序程度

$$H(X) = -\sum_{x \in X}p(x_i) \log p(x_i)$$

4. 最大后验法

与线性回归相同

5. 优化

5.1 在线学习 FTRL

在线最优化求解(Online Optimization)-冯扬

• 论文: https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/2487575.2488200

• 问题: Lasso引入L1正则项使模型的训练结果具有稀疏性,稀疏不仅有变量选择的功能，同时大大减少线上预测运算量。在线学习场景,利用SGD进行权重参数(W)的更新,每次只使用一个样本，权重参数的更新具有很大的随机性,无法将权重参数准确地更新为0

• 用ftrl优化可以得到稀疏权重，从而降低serving的复杂度

6. naive bayes 朴素贝叶斯

• 朴素贝叶斯的条件概率 P(X|Y=c) 服从高斯分布时，它计算出来的 P(Y=1|X) 形式跟逻辑回归一样

• Pros

  • Real time predictions: It is very fast and can be used in real time

  • Scalable with Large datasets

  • Insensitive to irrelevant features

  • Multi class prediction is effectively done in Naive Bayes

  • Good performance with high dimensional data(no. of features is large)

• Cons

  • Independence of features does not hold

  • Bad estimator: Probability outputs from predict_proba are not to be taken too seriously

  • Training data should represent population well

7. 问答

• pros:

  • interpretable and explainable method

  • less prone to overfitting when using regulation

  • applicable for multi-class predictions

  • Robustness to Feature Noise

• cons:

  • assuming linearity between input and output (Linear Separability)

  • can overfit with small, high dimensional data

  • High reliance on proper presentation of data

  • Multicollinearity impact on interpretation

• 正负样本不平衡

  • 欠采样（undersampling）和过采样（oversampling）会对模型带来怎样的影响？
• how do you deal with a categorical variable with high cardinality

• 并行

  • 逻辑回归并行化主要是对目标函数梯度计算的并行化。逻辑回归可以认为是极简的MLP。

• 为什么逻辑回归不用mse做损失函数

  • 本质是分布不同，最大似然可以看出，参数正态推导出MSE, 参数二项推导出cross entropy；公式推导发现容易导致梯度消失，很大的话梯度有一项会趋于0；陷入局部最优
  • 用平方差后 损失函数是非凸的(non-convex)，很难找到全局最优解
  • follow up: 为什么GBDT做分类也用回归树呢？损失函数的选择

• Logistic regression和naive bayes的区别

  • LR数据较多时优于NB。NB假设前提是个体独立，无法处理词组

• Logistic regression和SVM的区别

  • 任务不同: 分类，SVM可以解决回归问题

  • loss不同: BCE与hinge loss

  • 输出不同: LR概率输出，SVM score

• LR中连续特征为什么要做离散化

  • 数据角度：离散化的特征对异常数据有很强的鲁棒性；离散化特征利于进行特征交叉。

  • 模型角度：当数据增加/减少时，利于模型快速迭代；离散化相当于为模型引入非线性表达；离散化特征简化了模型输入，降低过拟合风险；LR中离散化特征很容易根据权重找出bad case。

  • 计算角度：稀疏向量内积计算速度快。（在计算稀疏矩阵内积时，可以根据当前值是否为0来直接输出0值，这相对于乘法计算是快很多的。）

• 什么是最大似然估计，其假设是什么？

• 一个分类器，有的 token 在 vocabulary 里面没出现导致概率是0怎么办

  • softmax，概率取对数再求指数

• Multiclass versus multilabel classification

  • multilabel: 每个label都当作一个二分类任务, BCE loss

8. 代码

import numpy as np
from scipy.stats import norm
np.random.seed(1)

class LogisticRegression(object):
    def __init__(self):
        self.w = None
        self.b = None
        self.epsilon = 1e-8
        self.activate=self.sigmoid

    def fit(self, x, y):
        batch_size, feature_size = x.shape
        self.w = np.random.random((feature_size, 1))
        self.b = np.random.random(1)
        self._gradient_descent(x, y)

    def predict(self, x):
        prob = self.activate(np.dot(x, self.w) + self.b)
        return prob

    def _gradient_descent(self, x, y, learning_rate=10e-4, epoch=100):
        for i in range(epoch):
            y_pred = self.activate(np.dot(x, self.w) + self.b)
            loss = np.mean(-y * np.log(y_pred + self.epsilon) - (1 - y) * np.log(1 - y_pred + self.epsilon))
            w_gradient = np.dot(x.T, (y_pred - y))
            b_gradient = np.mean(y_pred - y)
            self.w = self.w - learning_rate * w_gradient
            self.b = self.b - learning_rate * b_gradient
            print('step:', i, 'Loss:', loss)

    def sigmoid(self, input):
        return 1 / (1 + np.exp(-input))

    def __str__(self):
        return 'weights\t:%s\n bias\t:%f\n' % (self.w, self.b)

def generate_data():
    x0 = np.hstack((norm.rvs(2, size=40, scale=2), norm.rvs(8, size=40, scale=3)))
    x1 = np.hstack((norm.rvs(4, size=40, scale=2), norm.rvs(5, size=40, scale=2)))
    x = np.transpose(np.vstack((x0, x1)))
    y = np.vstack((np.zeros((40, 1)), np.ones((40, 1))))
    return x,y

if __name__ == "__main__":
    x,y = generate_data()
    lr = LogisticRegression()
    lr.fit(x,y)
    y_hat = lr.predict(x)

参考

• 【机器学习】逻辑回归
• Cross-entropy
• 逻辑回归为什么用Sigmoid？ - 雨林丶的文章 - 知乎
• softmax,sigmoid函数在使用上的区别是什么？ - 初识CV的回答 - 知乎
• softmax derivative